昨夜深时,本应是宁静入睡的时刻,而我却如此心潮澎湃。穿越时空的长河,从毕达哥拉斯对数的本质探讨,到费马向世人的略带嘲讽的挑战,再到怀尔斯长达八年的证明,我终于读完了横亘三百余年的费马大定理的全部史诗——它配得上“史诗”的名号,在三百余年里有不计其数的数学家为定理的证明前赴后继,发展出的方法不但形成了多个分支,还汇聚在证明人怀尔斯的方法中,无意中形成了大一统数学理论。毋庸置疑地,这是人类科学与智力史上的一座伟大的丰碑。放下书本,本想写些什么,然而与伟大的历史相会而激动的心情却久久无法消退。索性等到白天整理思绪后,将这些感慨记录成文字,故有此文。

《费马大定理》是一本科普作品,比起那些讲述证明细节的数学专著,它的读者范围是略懂数学的广泛大众,这一点身为物理学博士的作者西蒙·辛格处理得尤其恰当。在此书中他化繁为简,尽可能用简短的比喻或实例来说明问题背后的复杂程度,却又不失对问题本身立意高度的描绘。以费马大定理为轴,这部作品不但描述了从定理从提出到证明的全部过程,还引出与数学家所有的努力相关的种种故事。从毕达哥拉斯淹死无理数提出者,到罗素悖论引发数学危机,再到世界大战驱动密码学迅猛发展,这些故事不但使得历史真实可感,也向读者展现了一个完整的数学发展图谱。

回到书的主线费马大定理上,我们也可以看到数学本身的魅力之处。这个定理不过是费马在阅读丢番图的《算术》时作出的批注,但数学家们却为了这一行批注耗费了如此长久的时间。由于定理本身要求n在无穷的条件下都成立,在没有直接办法的情况下,数学家们从有穷的情况开始。从欧拉证明n=3的情形,到热尔曼证明n=5,之后甚至引入了计算机辅助证明其他有穷的n,但一道难题始终摆在人们的面前:数学证明在有穷时能成立不代表在无穷时也能成立,一旦证明即应当是永久的证明,不可被特例推翻。

后人评价费马的定理是“一只会下金蛋的鸡”,以各种缘由发展起来的数学分支最终成为了定理证明的武器。证明者怀尔斯就使用了解析函数(与大学数学中的复变函数有关)中的模形式与传统数论中的椭圆曲线共同解决费马大定理,他的证明也在分析与数论之间构建了一个通道,间接支撑了数学家们的伟大构想:如果数学中还有问题,数学的不同领域之间会架起桥梁,只要带着问题周游列国,会有对应的专家处理它的各种形式。这个猜想的提出者是日本的谷山丰与志村五郎,因此也被称为“谷山-志村猜想”。怀尔斯对这一猜想的证明不但引出了费马大定理,还启发了许多其他的数学领域。在去世数百年后,费马提出的问题还在指引人类攀登新的数学高峰。

结果看起来如此辉煌,路途却并不顺利。怀尔斯在很少与外界交流的情况下用了八年才最终完成,在最后一年他还因为证明中的差错受到外界的广泛质疑。作为读者,这一部分如此扣人心弦,以至于我情不自禁代入了怀尔斯,想象着自己的论文有错误,面对质疑时背上冒出的冷汗。怀尔斯应对这种压力的方法是,坚定认为自己已经为此着迷,并且费马大定理是一个有用的问题,以至于因此而产生的方法同样也是有用的。这种对问题本身的执拗与数学家天生的想象,帮助他在自己下决心要放弃的最后一个月中,沿着岩泽理论找到修补问题的答案,并宣告自己已经圆满完成了定理的证明。

证明费马大定理的过程中蕴含的治学精神也同样发人深思,令人回味。怀尔斯无疑首先是幸运的,他最终找到了证明的修补办法,但如若他在最后那一个月没有再坚持一下,或许证明的所有权就要拱手让于他人,他维持八年的梦想也会最终化为泡影。而驱动他这么做的唯一原因,就是他已被这个问题深深迷住,并且途中发展出的方法也能够产生新的价值。这其中对问题本身的坚持与投入,也正是科研工作的一种美好的,不容污染的初心。正如希尔伯特所说:“我们必须知道,我们必将知道。”比起攫取名利,做研究最初的动机应当在对事物本身的好奇中,有了这份好奇,许多的挫折都是下一次研究的经验,身处绝境时也能依旧品尝着探讨问题的乐趣。读完《费马大定理》,我想我也唤起了那份有些褪色的信仰。


Hongwei Fan - ACG lover & CV/CG worker